Hecha esta aclaración, te lo dejo acá resuelto

Esto que tenemos acá $f'(x) = 2f(x)$ es una ecuación diferencial, una ecuación donde nuestra "incógnita" es una función (ya en la Práctica 10 las vamos a ver bien) y que además cumple la condición $f(0) = 1$. Lo que queremos probar es que existe una única función que cumple eso. Vamos a hacerle caso a la ayudita, que por algo está ahí, y considerar la función $u(x)$ que es solución (es decir, que cumple la ecuación diferencial). Entonces definimos una nueva función $h(x)$ en términos de $u(x)$ de la siguiente manera:

$h(x) = \frac{u(x)}{e^{2x}}$ Ahora, vamos a calcular la derivada de $h(x)$ con respecto a $x$. Usamos regla del cociente y nos queda: $h'(x) = \frac{u'(x)e^{2x} - u(x)2e^{2x}}{(e^{2x})^2}$ Como $u(x)$ es una solución de la ecuación diferencial, podemos reemplazar $u'(x)$ por $2u(x)$ (mirá la expresión de la ecuación diferencial, sale de ahí!) $h'(x) = \frac{2u(x)e^{2x} - u(x)2e^{2x}}{(e^{2x})^2}$ Simplificamos el numerador: $h'(x) = \frac{2u(x)e^{2x} - 2u(x)e^{2x}}{(e^{2x})^2} = \frac{0}{(e^{2x})^2} = 0$ La derivada de $h(x)$ es cero, lo que significa que $h(x)$ es una constante (llamémosla $C$). Entonces, podríamos escribir $u(x)$ de esta manera: $u(x) = Ce^{2x}$ Como sabemos que $f(0) = 1$, aplicamos esta condición inicial para encontrar $C$ $u(0) = Ce^{0} \Rightarrow C = 1$ Por lo tanto, $C$ tiene que ser igual a 1 y la función $u(x)$ es... $u(x) = e^{2x}$ Entonces, encontramos que cualquier función $u(x)$ que satisfaga la ecuación diferencial y la condición inicial $u(0) = 1$ debe ser de la forma $u(x) = e^{2x}$ y esta es la única solución posible.

Si llegaste hasta acá y estás al borde del infarto, relax. Este ejercicio no es fácil, especialmente en este punto de la materia cuando todavía ni siquiera vimos ecuaciones diferenciales. Repito, estos primeros cuatro ejercicios no tienen nada que ver con el enfoque de la materia después al evaluar, no te van a tomar en el parcial nada como esto. En cambio, si es clave todo lo que viene a partir de ahora en la práctica. Arrancamos...